Алексей Кошванец родился в Одессе в 1961 году. Получил свое начальное музыкальное образование в Харьковской специальной музыкальной школе. Поступил в Московскую государственную консерваторию в 1980 г. в класс профессора Беленького. Закончил её с отличием в 1985 г. и в 1985-1987 годах совершенствовался в ассистентуре-стажировке у профессора, народного артиста СССР, Валерия Александровича Климова.
А. Кошванец — победитель и обладатель первых премий трех международных конкурсов: им. И. С. Баха в Лейпциге (1984 год), К. Нильсена в Оденсе (Дания, 1987 год), и Беллини в Кальтанисетто (Италия 1995 год). Он исполняет сольные концерты и участвует в международных фестивалях в Германии, Бельгии, Швейцарии, Финляндии, Италии, Чехии, Словакии, Болгарии, Японии, Корее с такими дирижерами как Курт Мазур, Валерий Гергиев, Павел Коган, Томас Зандерлинги др. Наряду с исполнительской деятельностью проявляет себя как талантливый педагог-воспитатель молодого поколения скрипачей.
Свою педагогическую деятельность он начал в 1992 году в Московской консерватории в качестве ассистента профессора, заслуженной артистки РФ М. Л. Яшвили. С 1996 года имеет собственный класс.
В 2000 году был удостоен звания «Заслуженный артист РФ». С 2008 года Алексей Кошванец — профессор и заведующий кафедрой скрипки и альта Российикой академии музыки им. Гнесиных.